Singulärwertzerlegung-Rechner
Zerlege reelle Matrizen bis 4×4 numerisch in Singulärwerte und Vektoren. Sieh Rang, Normen und Konditionszahl mit einer Näherung über AᵀA.
Beispiele für SVD-Matrizen
| Matrix | Singulärwerte | Rang | Konditionszahl |
|---|---|---|---|
| [[1, 0], [0, 1]] | 1, 1 | 2 | 1 |
| [[3, 0], [0, 1]] | 3, 1 | 2 | 3 |
| [[2, 2], [2, −2]] | 2,8284, 2,8284 | 2 | 1 |
| [[1, 2], [2, 4]] | 5, 0 | 1 | Unendlich |
| [[1, 0], [0, 0]] | 1, 0 | 1 | Unendlich |
Häufige Fragen
Was ist eine Singulärwertzerlegung?
Eine Singulärwertzerlegung faktorisiert eine reelle m×n-Matrix als A = UΣVᵀ. Die Singulärwerte in Σ sind nichtnegativ und absteigend sortiert. U und V enthalten orthonormale linke beziehungsweise rechte Singulärvektoren. Die Zerlegung existiert auch für rechteckige Matrizen.
Wie berechnet dieser Rechner die SVD?
Der Rechner bildet zunächst AᵀA und diagonalisiert diese symmetrische Matrix mit dem Jacobi-Verfahren. Die Quadratwurzeln der Eigenwerte sind die Singulärwerte. Rechte Vektoren kommen aus der Eigenzerlegung, linke Vektoren werden über u = Av/σ bestimmt.
Was bedeuten linke und rechte Singulärvektoren?
Rechte Vektoren beschreiben Richtungen im Eingaberaum der Matrix. Linke Vektoren liegen im Ausgaberaum. Für einen positiven Singulärwert gilt Av = σu. Beide Vektorsätze sind orthonormal und machen Projektionen, Rangbestimmung und kleinste Quadrate übersichtlicher.
Wie bestimmt die SVD den Rang einer Matrix?
Der Rang ist die Zahl der Singulärwerte über der relativen Toleranz. Der Rechner berücksichtigt dabei die größte Singularzahl und die Matrixgröße, damit Rundungsreste nicht als echte Richtung zählen. Werte an oder unter der Toleranz gelten als null.
Was zeigt die Konditionszahl?
Die 2-Norm-Konditionszahl ist der größte Singulärwert geteilt durch den kleinsten. Eine Zahl nahe 1 deutet auf gute numerische Stabilität hin, eine große Zahl auf Empfindlichkeit gegenüber kleinen Eingabefehlern. Bei einer singulären Matrix wird sie als unendlich angezeigt.
Warum ist die SVD-Ausgabe eine numerische Näherung?
Die Ausgabewerte werden mit Gleitkommaarithmetik und dem Jacobi-Verfahren angenähert. Der Weg über AᵀA quadriert zudem die Konditionszahl und kann sehr kleine Werte beeinflussen. Für kleine Matrizen bis 4×4 liefert der Rechner eine nachvollziehbare Näherung, keinen symbolischen Beweis.
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