Pythagoreisches Tripel berechnen

Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei positiven ganzen Zahlen (a, b, c), für die a² + b² = c² gilt. Die beiden kleineren Zahlen sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die größte ist die Hypotenuse. Der Rechner prüft jede Seite bis 67.108.863 und hält dadurch die quadrierten Werte als sichere JavaScript-Ganzzahlen exakt.

Es ist das kleinste pythagoreische Tripel aus positiven ganzen Zahlen: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Mit der 3-4-5-Regel lässt sich ein rechter Winkel nur mit einem Maßband prüfen. Vielfache wie 6-8-10 oder 9-12-15 ergeben denselben Winkel in größerem Maßstab.

Bei einem primitiven pythagoreischen Tripel ist der größte gemeinsame Teiler von a, b und c gleich 1. Die Seiten haben also keinen gemeinsamen Faktor größer als 1. Multiplizierst du ein primitives Tripel mit einer positiven ganzen Zahl, entsteht ein nicht primitives Tripel. Der Rechner zeigt bei einem solchen Ergebnis zusätzlich die primitive Grundform.

Wähle positive ganze Zahlen m und n mit m > n, ggT(m, n) = 1 und ungeradem m − n. Dann bilden m² − n², 2mn und m² + n² ein primitives pythagoreisches Tripel. Der Erzeugungsmodus prüft alle passenden Paare innerhalb der gewählten Hypotenuse und ergänzt bei Bedarf positive Vielfache.

Bis zu einer Hypotenuse von 100 gibt es sechzehn primitive pythagoreische Tripel. Die Hypotenusen sind 5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 73, 85, 89 und 97. Bei 65 und 85 treten jeweils zwei verschiedene Tripel auf, deshalb ist die Tripelanzahl größer als die Zahl der verschiedenen Hypotenusen.