Matrixrang-Rechner

Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen. Sie entspricht immer der Anzahl der linear unabhängigen Spalten. Du bestimmst ihn, indem du die Matrix in Zeilenstufenform bringst und die Pivotpositionen zählst. Eine 4 × 4-Matrix kann Rang 0 bis 4 haben.

Der Rechner verwendet Gauß-Elimination mit partieller Pivotisierung und bringt die Matrix in Zeilenstufenform. Für jede Spalte wählt er den betragsmäßig größten Eintrag als Pivot, eliminiert darunterliegende Einträge und zählt die Pivotposition. Die Pivotspalten werden zusätzlich aufgelistet.

Die Nullität ist die Dimension des Nullraums, also der Vektoren x mit A x = 0. Nach dem Rang-Nullitätssatz gilt Rang plus Nullität = Spaltenzahl n. Deshalb ist die Nullität n − Rang. Eine 3 × 5-Matrix mit Rang 3 hat beispielsweise Nullität 2.

Eine Matrix hat vollständigen Rang, wenn ihr Rang dem kleineren Wert aus Zeilen- und Spaltenzahl entspricht, also min(m, n). Eine quadratische Matrix mit vollständigem Rang ist invertierbar und hat eine von null verschiedene Determinante. Ein kleinerer Rang zeigt lineare Abhängigkeiten.

Computer speichern Zahlen mit begrenzter Genauigkeit. Ein Eintrag, der nach der Elimination eigentlich null sein sollte, kann deshalb als sehr kleine Zahl wie 1e−16 erscheinen. Der Rechner behandelt Pivotkandidaten unter einer skalierten Toleranz als null. So bleibt die Rangentscheidung bei Brüchen und Dezimalzahlen stabil.

Ja. Der Rang ist für jede m × n-Matrix definiert, nicht nur für quadratische Matrizen. Wähle Zeilen und Spalten unabhängig voneinander bis zu 6 × 6. Der Rechner zeigt Rang, Nullität, Pivotspalten und vollständigen Rang für die gewählte Form.