Transponierte-Matrix-Rechner
Transponiere Matrizen bis 6 × 6 durch Vertauschen von Zeilen und Spalten. Prüfe Symmetrie, Schiefsymmetrie, Diagonalform und ganzzahlige Einträge.
Beispiele für Matrixtranspositionen
| Ausgangsform | Ausgangsmatrix | Transponierte Matrix |
|---|---|---|
| 1 × 3 | [[1, 2, 3]] | [[1], [2], [3]] |
| 2 × 2 | [[1, 2], [3, 4]] | [[1, 3], [2, 4]] |
| 2 × 3 | [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] | [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] |
| 3 × 1 | [[1], [2], [3]] | [[1, 2, 3]] |
| 3 × 3 | [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] | [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] |
Häufige Fragen
Was ist die Transponierte einer Matrix?
Die Transponierte einer Matrix A, geschrieben als Aᵀ, vertauscht ihre Zeilen und Spalten. Der Eintrag in Zeile i und Spalte j von A steht danach in Zeile j und Spalte i von Aᵀ. Aus einer m × n-Matrix wird dadurch eine n × m-Matrix.
Wie transponiere ich eine Matrix von Hand?
Schreibe die erste Zeile von A als erste Spalte der neuen Matrix, die zweite Zeile als zweite Spalte und so weiter. Du kannst auch jeden Eintrag an der Hauptdiagonale spiegeln. Der Rechner unterstützt rechteckige und quadratische Matrizen von 1 × 1 bis 6 × 6.
Was ist eine symmetrische Matrix?
Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, wenn sie ihrer eigenen Transponierten entspricht. Für jedes Indexpaar gilt dann Aᵢⱼ = Aⱼᵢ. Die Einträge bilden auf beiden Seiten der Hauptdiagonale ein Spiegelbild. Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein.
Was ist eine schiefsymmetrische Matrix?
Eine quadratische Matrix ist schiefsymmetrisch, wenn ihre Transponierte das Negative der Matrix ist. Es gilt also Aᵀ = −A, und alle Einträge auf der Hauptdiagonale müssen 0 sein. Die Nullmatrix ist die einzige Matrix, die zugleich symmetrisch und schiefsymmetrisch ist.
Erhalte ich nach zweimaligem Transponieren die Ausgangsmatrix zurück?
Ja. Die Transposition ist eine Involution, daher gilt (Aᵀ)ᵀ = A. Beim ersten Schritt werden Zeilen und Spalten vertauscht. Beim zweiten Schritt wird diese Vertauschung rückgängig gemacht, sodass jeder Eintrag wieder an seiner ursprünglichen Position steht.
Welche Dimensionen hat die transponierte Matrix?
Hat A m Zeilen und n Spalten, besitzt Aᵀ n Zeilen und m Spalten. Die beiden Dimensionen wechseln einfach ihre Position. Eine 3 × 2-Matrix wird daher zu einer 2 × 3-Matrix. Bei einer quadratischen Matrix bleiben die Dimensionen gleich.
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