Matrix-Rechner
Berechne Determinante, Inverse, Transponierte und Spur von 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen. Addiere, subtrahiere oder multipliziere zwei Matrizen.
Beispiele für Matrixoperationen
| Operation | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Determinante | [[2, 1], [5, 3]] | 1 |
| Transponierte | [[1, 2], [3, 4]] | [[1, 3], [2, 4]] |
| Multiplikation | [[1, 2], [3, 4]] × [[2, 0], [1, 2]] | [[4, 4], [10, 8]] |
| Inverse | [[2, 1], [5, 3]] | [[3, -1], [-5, 2]] |
| Addition | [[1, 2], [3, 4]] + [[2, 0], [1, 2]] | [[3, 2], [4, 6]] |
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Determinante einer Matrix?
Für eine 2 × 2-Matrix [[a, b], [c, d]] lautet die Determinante (a × d) - (b × c). Bei einer 3 × 3-Matrix entwickelt der Rechner nach der ersten Zeile. Das Ergebnis beschreibt, wie die Matrix Fläche oder Volumen skaliert. Eine Determinante von 2 verdoppelt zum Beispiel die Fläche.
Wie finde ich die Inverse einer Matrix?
Bei einer 2 × 2-Matrix vertauscht der Rechner die Diagonaleinträge, negiert die übrigen Einträge und teilt alle Werte durch die Determinante. Für 3 × 3-Matrizen verwendet er eine Gauß-Jordan-Elimination mit Pivotwahl. Das Produkt einer Matrix mit ihrer Inversen ist stets die Einheitsmatrix.
Wann ist eine Matrix invertierbar?
Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante nicht null ist. Bei einer Determinante von null sind die Zeilen linear abhängig. Die Matrix bildet dann auf eine niedrigere Dimension ab und besitzt keine Inverse. Dieser Rechner unterstützt nur quadratische 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen und meldet bei Determinante null einen Fehler.
Was ist die Transponierte und wann verwende ich sie?
Die Transponierte spiegelt eine Matrix an ihrer Hauptdiagonalen. Jede Zeile i wird zur Spalte i. Eine 2 × 3-Matrix wird dadurch zu einer 3 × 2-Matrix. Typische Anwendungen sind der Wechsel zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren, symmetrische Matrizen und Probleme der kleinsten Quadrate in der Statistik.
Was ist die Spur einer Matrix?
Die Spur ist die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonalen von links oben nach rechts unten. Für [[1, 2], [3, 4]] ist sie 1 + 4 = 5. Sie entspricht der Summe der Eigenwerte und bleibt bei Ähnlichkeitstransformationen, etwa einem Basiswechsel, unverändert.
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