Matrix-Multiplikationsrechner

AB und BA bilden unterschiedliche Skalarprodukte aus Zeilen und Spalten. Schon die Dimensionen können verhindern, dass beide Produkte dieselbe Form haben. Bei A mit 2 × 3 und B mit 3 × 2 ist AB eine 2 × 2-Matrix, während BA eine 3 × 3-Matrix wäre. Auch bei gleich großen quadratischen Matrizen stimmen die Produkte nur in besonderen Fällen überein.

Wenn A die Form m × n und B die Form n × p hat, ist AB definiert und hat die Form m × p. Die beiden inneren Dimensionen n müssen gleich sein. Die äußeren Dimensionen m und p werden zur Form des Ergebnisses. Eine 2 × 3-Matrix kann deshalb mit einer 3 × 4-Matrix multipliziert werden und ergibt eine 2 × 4-Matrix.

Jede Zelle von AB ist das Skalarprodukt einer Zeile aus A mit einer Spalte aus B. Beide Vektoren müssen gleich viele Einträge haben, damit jeder Eintrag paarweise multipliziert und anschließend addiert werden kann. Die Zeile von A hat aCols Werte, die Spalte von B hat bRows Werte. Deshalb gilt genau die Bedingung aCols = bRows.

Die Einheitsmatrix hat Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen an den übrigen Stellen. Sie ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation: Für passende Dimensionen gilt A · I = A und I · A = A. Der Rechner erkennt, wenn eine der Eingabematrizen eine Einheitsmatrix ist, und markiert diesen Sonderfall im Ergebnis.

In der 3D-Grafik werden Punkte mit Matrizen gedreht, verschoben und projiziert. In einem vollständig verbundenen neuronalen Netz ist die gewichtete Ausgabe ebenfalls eine Matrixmultiplikation mit einem zusätzlichen Bias. Das Grundprinzip bleibt dabei gleich: Zeilen und Spalten werden als Skalarprodukte miteinander verknüpft.