Matrix-Determinanten-Rechner
Berechne die Determinante einer quadratischen Matrix. Der Rechner zeigt Entwicklungsschritte und erkennt singuläre Matrizen.
Beispiele für Matrixdeterminanten
Die Determinante zeigt, ob die Matrix invertierbar oder singulär ist.
| Matrix | Determinante | Einordnung |
|---|---|---|
| [[1, 2], [3, 4]] | −2 | Invertierbar |
| [[2, 1], [4, 2]] | 0 | Singulär |
| [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]] | 6 | Invertierbar |
| [[5, 0], [0, 5]] | 25 | Invertierbar |
| [[1, 1], [1, 1]] | 0 | Singulär |
Häufige Fragen
Was sagt die Determinante einer Matrix aus?
Die Determinante ist der gerichtete Skalierungsfaktor einer linearen Abbildung. Bei einer 2 × 2-Matrix beschreibt ihr Betrag die Flächenskalierung, bei einer 3 × 3-Matrix die Volumenskalierung. Eine Determinante von null bedeutet außerdem, dass die Matrix nicht invertierbar ist.
Warum ist eine Matrix mit Determinante 0 nicht invertierbar?
Bei einer Determinante von 0 sind Zeilen oder Spalten linear abhängig. Die Matrix bildet den Raum in eine niedrigere Dimension ab und verliert dadurch Informationen. Eine inverse Matrix könnte diese verlorene Dimension nicht wiederherstellen.
Wie lautet die schnelle Determinantenformel für eine 2 × 2-Matrix?
Für A = [[a, b], [c, d]] gilt det(A) = a · d − b · c. Du multiplizierst die Hauptdiagonale und ziehst das Produkt der Nebendiagonale ab. Für [[1, 2], [3, 4]] ergibt sich 1 · 4 − 2 · 3 = −2.
Was ist die Regel von Sarrus für eine 3 × 3-Matrix?
Bei der Regel von Sarrus kopierst du die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix. Addiere die drei Produkte der abwärts laufenden Diagonalen und subtrahiere die drei Produkte der aufwärts laufenden Diagonalen. Die Regel gilt nur für 3 × 3-Matrizen.
Warum ist die Kofaktorentwicklung für große Matrizen langsam?
Die rekursive Kofaktorentwicklung erzeugt ungefähr n! Terme. Für große Matrizen wächst der Aufwand deshalb sehr schnell. Numerische Bibliotheken verwenden meist Gauß- oder LU-Zerlegung mit einem Aufwand von O(n³). Dieser Rechner nutzt skalierte Elimination für Matrizen bis 5 × 5.
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