Kettenbruch-Rechner
Wandle Dezimalzahlen, Brüche und Kettenbrüche ineinander um. Zeige Terme, Konvergenten, rationale Näherung, Genauigkeit und abgeschnittene Ergebnisse.
Beispiele für Kettenbrüche
| Eingabemodus | Eingabe | Kettenbruch | Bruch | Dezimalwert |
|---|---|---|---|---|
| Dezimalzahl in Kettenbruch | 1,5 | [1; 2] | 3/2 | 1,5 |
| Bruch in Kettenbruch | 22 / 7 | [3; 7] | 22/7 | 3,142857 |
| Terme in Bruch | 3; 7; 15; 1 | [3; 7, 15, 1] | 355/113 | 3,141593 |
| Terme in Bruch | 1; 2; 2; 2 | [1; 2, 2, 2] | 17/12 | 1,416667 |
| Terme in Bruch | 2; 1; 2; 1; 1 | [2; 1, 2, 1, 1] | 19/7 | 2,714286 |
Häufige Fragen
Was ist ein Kettenbruch und was bedeutet [a₀; a₁, a₂, …]?
Ein einfacher Kettenbruch stellt eine Zahl als ganzzahligen Anteil plus verschachtelte Kehrwerte dar. Der erste Term a₀ darf jede ganze Zahl sein, die folgenden Terme sind positive ganze Zahlen. Das Semikolon trennt den ganzzahligen Anteil von den weiteren Termen.
Warum sind Konvergenten besonders gute rationale Näherungen?
Eine Konvergente entsteht, wenn du einen Kettenbruch an einer Stelle abschneidest. Sie gehört zu den besten Näherungen, wenn der Nenner begrenzt ist. Für Pi sind 22/7 und 355/113 bekannte Konvergenten mit unterschiedlich hoher Genauigkeit.
Wie hängt der euklidische Algorithmus mit einem Kettenbruch zusammen?
Die Umwandlung eines Bruchs in einen Kettenbruch führt dieselben Divisionen mit Rest aus wie der euklidische Algorithmus. Bei 22/7 entstehen die Quotienten 3 und 7. Der letzte von null verschiedene Rest ist zugleich der größte gemeinsame Teiler.
Warum ist 22/7 eine bekannte Näherung für Pi?
22/7 ist die zweite Konvergente des Kettenbruchs von Pi, [3; 7, 15, 1, 292, …]. Der Bruch ist leicht zu merken und nähert Pi bereits gut an. Spätere Konvergenten wie 355/113 sind noch genauer.
Was sind edle Zahlen und warum gilt der goldene Schnitt als besonders irrational?
Eine edle Zahl besitzt einen Kettenbruch, der ab einer Stelle nur noch aus Einsen besteht. Beim goldenen Schnitt sind alle Terme Eins. Die Bezeichnung besonders irrational bezieht sich auf eine bestimmte Form der rationalen Approximation und ist keine allgemeine Rangliste irrationaler Zahlen.
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