45-45-90-Dreieck-Rechner

Ein 45-45-90-Dreieck ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Es hat einen rechten Winkel mit 90° sowie zwei gleich große spitze Winkel mit je 45°. Die beiden Katheten sind gleich lang. Weil die Winkel feststehen, sind alle 45-45-90-Dreiecke zueinander ähnlich und unterscheiden sich nur in ihrer Größe.

Mit dem Satz des Pythagoras und zwei gleich langen Katheten a gilt c² = a² + a² = 2a². Daraus folgt c = a · √2. Deshalb hat jedes 45-45-90-Dreieck das Seitenverhältnis 1 : 1 : √2. Umgekehrt erhältst du eine Kathete aus der Hypotenuse mit a = c / √2.

Ziehe die Diagonale in einem Quadrat. Sie teilt das Quadrat in zwei deckungsgleiche 45-45-90-Dreiecke. Die beiden Seiten des Quadrats sind die Katheten und die Diagonale ist die gemeinsame Hypotenuse. So wird auch sichtbar, warum die Diagonale eines Einheitsquadrats √2 lang ist.

Beide sind spezielle rechtwinklige Dreiecke mit festen Winkeln und Seitenverhältnissen. Beim 45-45-90-Dreieck lautet das Verhältnis 1 : 1 : √2, daher sind beide Katheten gleich lang. Beim 30-60-90-Dreieck lautet es 1 : √3 : 2. Dort ist die kurze Kathete halb so lang wie die Hypotenuse und keine zwei Seiten sind gleich lang.

Es entsteht überall dort, wo eine 45°-Linie eine quadratische Ecke teilt. Die Diagonale eines Quadrats bildet zwei solche Dreiecke. Auch Gehrungen teilen einen Winkel von 90° in zwei Schnitte mit je 45°. In technischen Zeichnungen hilft ein 45°-Zeichendreieck beim Konstruieren rechtwinkliger und diagonal verlaufender Linien.