Fibonacci-Rechner

Die Fibonacci-Folge beginnt mit F(0) = 0 und F(1) = 1. Jeder weitere Wert ist die Summe der beiden vorherigen Werte: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 und so weiter. Die Folge taucht unter anderem in mathematischen Modellen, der Biologie und der Finanzmathematik auf.

Mit wachsendem n nähert sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Werte F(n) / F(n - 1) dem goldenen Schnitt φ = (1 + √5) / 2, also etwa 1,6180339887. Der Rechner zeigt diese laufende Näherung. Bei F(20) stimmen bereits mehrere Nachkommastellen überein.

Die geschlossene Formel von Binet lautet F(n) = (φⁿ - ψⁿ) / √5. In einer Gleitkommazahl sammeln sich bei großen Potenzen Rundungsfehler. Deshalb verwendet der Rechner die Binet-Formel nur bis n = 70 und wechselt danach zu einer iterativen BigInt-Berechnung.

Fibonacci-nahe Anzahlen erscheinen bei einigen Spiralordnungen von Sonnenblumen, Kiefernzapfen und Ananas. Der goldene Winkel beschreibt dort mögliche Packungsmuster. Biologische Exemplare unterscheiden sich jedoch, und eine Nautilusschale ist keine allgemeine goldene Spirale.

F(79) ist die erste Fibonacci-Zahl oberhalb von Number.MAX_SAFE_INTEGER. Eine gewöhnliche JavaScript-Zahl kann dann nicht mehr jede ganze Zahl exakt darstellen. BigInt speichert die großen Werte ohne Rundung, sodass der Rechner die exakten Ziffern als Zeichenfolge ausgeben kann.