Chinesischer-Restsatz-Rechner
Löse Systeme von Kongruenzen mit paarweise teilerfremden Modulen. Erhalte die eindeutige Lösung modulo Produkt, Prüfung und Rechenweg.
Beispiele zum chinesischen Restsatz
Bei paarweise teilerfremden Modulen wird die kleinste nichtnegative Lösung bestimmt.
| Kongruenzen | Kleinste Lösung | Gemeinsames Modul |
|---|---|---|
| x ≡ 2 mod 3, x ≡ 3 mod 5 | 8 | 15 |
| x ≡ 1 mod 2, x ≡ 2 mod 3 | 5 | 6 |
| x ≡ 2 mod 3, x ≡ 3 mod 4, x ≡ 1 mod 5 | 11 | 60 |
| x ≡ 0 mod 2, x ≡ 1 mod 3 | 4 | 6 |
| x ≡ 1 mod 3, x ≡ 4 mod 5 | 4 | 15 |
Häufige Fragen
Was berechnet der Rechner für den chinesischen Restsatz?
Er löst ein System gleichzeitiger Kongruenzen wie x ≡ a₁ (mod n₁), wenn die Module paarweise teilerfremd sind. Das Ergebnis ist die eindeutige Lösung x zwischen 0 und N − 1, wobei N das Produkt aller Module ist. Gib für jede Kongruenz eine Restklasse und ein Modul ein.
Was bedeutet paarweise teilerfremd?
Jedes Paar von Modulen hat keinen gemeinsamen Teiler außer 1. Der größte gemeinsame Teiler jedes Paars ist also 1. Nur dann garantiert der chinesische Restsatz eine eindeutige Lösung modulo N. Die Module 4 und 6 sind beispielsweise nicht teilerfremd, weil sie beide durch 2 teilbar sind.
Wie wird die Lösung des Restsatzes berechnet?
Zuerst wird N als Produkt aller Module gebildet. Für jede Zeile berechnet der Rechner Nᵢ = N/nᵢ und das modulare Inverse Mᵢ von Nᵢ modulo nᵢ. Die Summe aᵢ · Nᵢ · Mᵢ wird anschließend modulo N reduziert. Der Rechenweg folgt der klassischen Konstruktion nach Gauß.
Kann ich negative Restklassen eingeben?
Ja. Eine Restklasse wie −1 wird vor der Berechnung in den Bereich 0 bis n − 1 verschoben. Für n = 3 ist −1 daher gleichbedeutend mit 2. Der Rechner übernimmt diese Normalisierung automatisch, sodass du die für dich passende Schreibweise verwenden kannst.
Warum gibt es Grenzen für Module und Zwischenwerte?
Das Produkt N bleibt höchstens 2⁵² groß und damit in einem Bereich, in dem JavaScript ganze Zahlen exakt verarbeitet. Der Rechner akzeptiert bis zu 12 Kongruenzen und Module bis 1.000.000.000. Würde das Produkt den sicheren Bereich überschreiten, wird kein ungenaues Ergebnis ausgegeben.
Wie prüfe ich, ob die Lösung stimmt?
Berechne für jedes Modul n den Rest von x bei der Division durch n. Jeder Rest muss mit der eingegebenen, gegebenenfalls normalisierten Restklasse übereinstimmen. Der Rechenweg enthält außerdem eine Prüfzeile. Sie zeigt 100 %, wenn alle Kongruenzen erfüllt sind.
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