Umkehrfunktion-Rechner
Berechne Umkehrfunktionen für lineare, quadratische, kubische, exponentielle und logarithmische Funktionen mit Definitionsbereich und Rückweg-Prüfung.
Beispiele für Umkehrfunktionen
| Funktion | Umkehrfunktion | Erforderlicher Definitionsbereich | Hin- und Rückweg-Prüfung |
|---|---|---|---|
| f(x) = 2x + 3 | f⁻¹(y) = (y - 3) / 2 | alle reellen x | f⁻¹(f(4)) = 4 |
| f(x) = x² | f⁻¹(y) = √y | x ≥ 0 | f⁻¹(f(3)) = 3 |
| f(x) = eˣ | f⁻¹(y) = ln(y) | x reell, y > 0 | f⁻¹(f(2)) = 2 |
| f(x) = x³ | f⁻¹(y) = ∛y | alle reellen x | f⁻¹(f(5)) = 5 |
| f(x) = √x | f⁻¹(y) = y² | x ≥ 0 | f⁻¹(f(9)) = 9 |
Häufige Fragen
Was ist eine Umkehrfunktion?
Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht die Wirkung von f rückgängig. Gilt y = f(x), dann liefert f⁻¹(y) wieder x. Eine Umkehrfunktion ist nur eindeutig, wenn jeder y-Wert genau von einem x-Wert stammt. Die neun Familien dieses Rechners sind im angegebenen Bereich eineindeutig.
Warum muss bei der quadratischen Funktion x ≥ 0 gelten?
Die vollständige Parabel y = a × x² + c ist für alle reellen x nicht eineindeutig, weil x und -x denselben y-Wert liefern. Der Rechner beschränkt sich deshalb auf den rechten Ast mit x ≥ 0. So ist die Umkehrfunktion eindeutig definiert.
Wann hat eine gebrochen-rationale Funktion eine Umkehrfunktion?
Für y = (a × x + b) / (c × x + d) muss ad - bc ungleich 0 sein. Bei einer Determinante von 0 wird die Funktion auf ihrem Definitionsbereich konstant und kann nicht umgekehrt werden. Der Rechner prüft diese Bedingung automatisch.
Wozu dient die Hin- und Rückweg-Prüfung?
Gib einen Testwert x ein. Der Rechner berechnet zuerst y = f(x) und setzt diesen Wert anschließend in f⁻¹ ein. Das Ergebnis sollte innerhalb der Rundungstoleranz wieder x ergeben. So kannst du die Umkehrung mit einem konkreten Wert kontrollieren.
Warum verarbeitet der Rechner keine beliebigen Funktionen?
Eine symbolische Umkehrung ist für viele Funktionen nicht möglich oder hängt vom Definitionsbereich ab. Die Auswahl beschränkt sich deshalb auf neun gut definierte, eineindeutige Familien. So erhältst du eine nachvollziehbare Formel statt einer unzuverlässigen Näherung.
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