Jacobi-Matrix-Rechner

Du gibst die an einem Punkt ausgewerteten partiellen Ableitungen einer vektorwertigen Funktion ein. Der Rechner setzt daraus eine 2 × 2- oder 3 × 3-Jacobi-Matrix J zusammen, wobei Jᵢⱼ die Ableitung der Komponente i nach der Variablen j ist. Er berechnet Determinante, Betrag, Spur und Rotation.

Leite jede Ausgabekomponente nach jeder Eingangsvariablen ab und setze anschließend den gewünschten Punkt ein. Für F(x, y) = (x² + y, x y) am Punkt (1, 3) sind die Ableitungen 2, 1, 3 und 1. Ein Computeralgebrasystem hilft bei symbolisch schwierigen Ableitungen.

Der Betrag der Determinante ist der lokale Skalierungsfaktor für Flächen bei 2 × 2- und für Volumen bei 3 × 3-Matrizen. Eine Determinante von null bedeutet, dass die Abbildung an diesem Punkt nicht lokal invertierbar ist. Die Transformation kollabiert dort Fläche oder Volumen.

Ein mehrdimensionaler Newton-Schritt löst J · Δx = −F und benötigt dafür eine invertierbare Jacobi-Matrix. Bei einer Determinante von null gibt es keine eindeutige Lösung des linearen Systems. Auch eine sehr kleine Determinante kann den Schritt numerisch instabil machen und wird deshalb als singulär markiert.

Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge und entspricht der Divergenz des Vektorfelds. Die Rotation beschreibt die lokale Drehung. Für ein 2D-System wird sie als ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y ausgegeben. Für ein 3D-System zeigt der Rechner den üblichen dreidimensionalen Rotationsvektor.

Nein. Er verarbeitet die numerischen Werte der partiellen Ableitungen, die du eingibst. Determinante, Spur und Rotation werden daraus direkt berechnet, ohne eine Finite-Differenzen-Näherung. Bestimme symbolische Ableitungen vorher von Hand oder mit einem Computeralgebrasystem.