Sigmoid- und Logit-Rechner

Die Sigmoidfunktion bildet jede reelle Eingabe x auf einen Wert zwischen 0 und 1 ab. Sie lautet σ(x) = 1 / (1 + e⁻ˣ) und hat bei x = 0 den Wert 0,5. Wegen ihres S-förmigen Verlaufs wird sie unter anderem in der Statistik und beim maschinellen Lernen verwendet.

Die Ableitung lautet σ′(x) = σ(x) × (1 − σ(x)). Sie beschreibt die Steigung der Funktion an der Stelle x. In der Mitte bei x = 0 ist sie am größten und beträgt 0,25. Für sehr große positive oder negative Eingaben nähert sie sich null an.

Der Logit ist die Umkehrfunktion der Sigmoidfunktion. Für eine Wahrscheinlichkeit p zwischen 0 und 1 gilt logit(p) = ln(p / (1 − p)). Das Ergebnis ist der natürliche Logarithmus der Chancen. Der Rechner kann sowohl die Wahrscheinlichkeit in einen Logit als auch einen Logit in eine Wahrscheinlichkeit umwandeln.

Die Chancen ergeben sich aus p / (1 − p). Der Logarithmus der Chancen ist ln(p / (1 − p)) und entspricht dem Logit. Umgekehrt liefert die Sigmoidfunktion aus diesem Logit wieder p. Der Rechner zeigt alle drei Größen sowie die Ableitung, damit die Beziehung nachvollziehbar bleibt.

Der Logit verwendet p / (1 − p). Bei p = 0 oder p = 1 würde dieser Ausdruck eine nicht erlaubte Randdivision enthalten. Deshalb ist der Logit nur für 0 < p < 1 definiert. Die Sigmoidfunktion selbst liefert für jede endliche reelle Eingabe einen Wert innerhalb dieses offenen Intervalls.