Nullraum-Rechner
Finde den Nullraum einer Matrix per reduzierter Zeilenstufenform. Erhalte Rang, Nullität, Pivot- und freie Spalten sowie Basisvektoren.
Beispiele für Nullräume
Die Beispiele zeigen typische Basen und Nullitäten kleiner Matrizen.
| Matrix | Basis des Nullraums | Nullität |
|---|---|---|
| [[1, 2], [2, 4]] | [[-2, 1]] | 1 |
| [[1, 0], [0, 1]] | Keine Vektoren außer dem Nullvektor | 0 |
| [[1, 0, 0], [0, 1, 0]] | [[0, 0, 1]] | 1 |
| [[1, 1, 1]] | [[-1, 1, 0], [-1, 0, 1]] | 2 |
| [[1, 0], [0, 0]] | [[0, 1]] | 1 |
Häufige Fragen
Was ist der Nullraum einer Matrix?
Der Nullraum, auch Kern genannt, enthält alle Spaltenvektoren x, die die Gleichung A x = 0 erfüllen. Er ist ein Untervektorraum und umfasst deshalb immer den Nullvektor. Der Rechner gibt eine Basis und die Dimension dieses Raums, die Nullität, aus.
Wie wird der Nullraum bestimmt?
Zuerst wird die Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren in die reduzierte Zeilenstufenform gebracht. Danach werden Pivotspalten und freie Spalten bestimmt. Für jede freie Spalte entsteht ein Basisvektor, indem die freien Variablen festgelegt und die Pivotvariablen aus den Zeilen gelöst werden.
Wie hängen Rang und Nullität zusammen?
Die Nullität ist die Anzahl der freien Spalten und damit die Dimension des Nullraums. Der Rang-Nullitätssatz sagt, dass Rang und Nullität zusammen die Zahl n der Matrixspalten ergeben. Eine Matrix mit vier Spalten und Rang zwei hat deshalb Nullität zwei.
Was bedeutet ein trivialer Nullraum?
Wenn jede Spalte eine Pivotspalte ist, hat die Matrix vollen Spaltenrang. Dann erfüllt nur x = 0 die Gleichung A x = 0, die Nullität ist null und die Basis enthält keinen Vektor. Bei einer quadratischen Matrix entspricht das einer von null verschiedenen Determinante.
Warum erscheinen Brüche oder Dezimalzahlen in der Basis?
Die Basis wird direkt aus der reduzierten Zeilenstufenform berechnet. Wenn ein Pivot nicht ohne Rest teilt, entstehen Dezimalzahlen wie minus 0,5. Du darfst jeden Basisvektor mit einer von null verschiedenen Zahl multiplizieren, ohne den aufgespannten Nullraum zu ändern.
Welche Matrixgrößen unterstützt der Rechner?
Du kannst Matrizen von 1 mal 1 bis 6 mal 6 eingeben. Zeilen- und Spaltenzahl dürfen verschieden sein, sodass auch breite und hohe Matrizen möglich sind. Wenn du die Größe änderst, bleiben vorhandene Werte erhalten, soweit sie in die neue Matrix passen.
Änderungsverlauf
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