Newton-Verfahren-Rechner

Das Newton-Verfahren, auch Newton-Raphson-Verfahren genannt, sucht eine Nullstelle von f(x) = 0 iterativ. Ausgehend von einem Startwert folgt jeder Schritt der Tangente. Die Formel lautet xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ).

Gib f(x) mit x als Variable ein, zum Beispiel x^2 − 2 oder cos(x) − x. Wähle einen Startwert, eine positive Toleranz und eine maximale Iterationszahl. Die Ergebnistabelle zeigt Funktion, numerische Steigung, Folgewert und Schrittgröße.

Nein. Du gibst nur f(x) ein. Für jeden Schritt schätzt der Rechner f′(x) mit einer zentralen Differenz [f(x + h) − f(x − h)] / (2h). Dadurch bleibt die Eingabe kompakt, während die verwendete numerische Steigung sichtbar bleibt.

Ein ungeeigneter Startwert kann zu Divergenz oder zu einem Sprung aus dem Definitionsbereich führen. Eine fast waagerechte Tangente kann den Schritt ebenfalls unbrauchbar machen. Der Rechner meldet Divergenz, flache Steigung oder eine erreichte Iterationsgrenze statt ein falsches Konvergenzergebnis.

Die Toleranz legt fest, wie klein das Residuum f(x) werden muss. Eine kleinere Toleranz verlangt meist mehr Stellen. Die Iterationsgrenze von 1 bis 100 begrenzt die Laufzeit und die Länge der Ergebnistabelle, auch wenn ein Beispiel nicht konvergiert.

Bei einer einfachen Nullstelle ist die Konvergenz in der Nähe meist quadratisch. Entscheidend bleibt das angezeigte Residuum, also der Wert von f an der Näherung. Der Rechner rundet Ausgabewerte für die Anzeige und kennzeichnet Fälle, in denen Startwert, Steigung oder Iterationslimit die Genauigkeit begrenzen.