N-te Wurzel berechnen
Berechne die n-te Wurzel positiver und negativer Zahlen. Ungerade Exponenten liefern reelle negative Wurzeln, gerade Exponenten werden verständlich erklärt.
Beispiele für n-te Wurzeln
| Radikand | Exponent | Exakte Wurzel | Dezimalzahl |
|---|---|---|---|
| 27 | 3 | 3 | 3 |
| 16 | 4 | 2 | 2 |
| −125 | 3 | −5 | −5 |
| 81 | 2 | 9 | 9 |
| 32 | 5 | 2 | 2 |
| 1.000 | 3 | 10 | 10 |
Häufige Fragen
Wie wird die n-te Wurzel einer Zahl berechnet?
Die n-te Wurzel von x entspricht x^(1/n). Für positive Werte nutzt der Rechner diese Beziehung. Bei einem negativen Radikanden und ungeradem n wird die Wurzel des Betrags berechnet und das negative Vorzeichen wieder eingesetzt. Für n = 2 wird Math.sqrt verwendet. Das Ergebnis wird auf zehn Nachkommastellen gerundet.
Warum ist die n-te Wurzel einer negativen Zahl bei geradem n nicht reell?
Keine reelle Zahl bleibt nach einer geraden Anzahl gleicher Faktoren negativ. Sowohl 2 × 2 als auch (−2) × (−2) ergeben 4. Deshalb gibt es keine reelle Zahl, deren vierte Potenz −16 ist. Der Rechner kennzeichnet bei geradem n und negativem Radikanden ausdrücklich, dass keine reelle Lösung existiert.
Warum ist die Kubikwurzel von −8 möglich, die Quadratwurzel von −4 aber nicht?
Bei einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren bleibt das Ergebnis negativ. Deshalb ist (−2) × (−2) × (−2) = −8 möglich. Gerade Exponenten führen bei reellen Zahlen zu einem nicht negativen Ergebnis. Der Rechner liefert bei ungeradem n die negative reelle Wurzel und lehnt den geraden Fall verständlich ab.
Was ist die Hauptwurzel und unterscheidet sie sich vom Ergebnis?
Die Hauptwurzel ist die eindeutig ausgewählte reelle Wurzel. Bei positiven Radikanden ist sie positiv, bei einem negativen Radikanden mit ungeradem Exponenten ist sie die einzige reelle und daher negative Wurzel. In diesem Rechner sind Ergebnis und Hauptwurzel deshalb identisch, werden aber getrennt ausgewiesen.
Wie erkennt der Rechner eine perfekte Wurzel?
Nach der numerischen Berechnung wird die Wurzel auf die nächstgelegene ganze Zahl gerundet. Anschließend prüft der Rechner, ob deren n-te Potenz den Betrag des Radikanden exakt wiedergibt. Ist das der Fall, wird die ganze Zahl verwendet und als perfekte Wurzel gekennzeichnet. So erscheint die Kubikwurzel von 27 sauber als 3.
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