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Rechner für das harmonische Mittel

Berechne das harmonische Mittel positiver Werte und vergleiche es mit arithmetischem und geometrischem Mittel. Geeignet für Geschwindigkeiten und F1-Scores.

Harmonisches Mittel berechnen

Gib positive Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche. Bei Dezimalzahlen mit Komma verwendest du Semikolons oder Zeilenumbrüche.

Typische Anwendungsfälle

  • Durchschnittlicher Verbrauch: Bei gleicher Strecke ist das harmonische Mittel der Verbrauchswerte aussagekräftiger als ein einfacher Durchschnitt.
  • F1 Score: Der F1 Score ist das harmonische Mittel aus Präzision und Trefferquote. Ein niedrigerer Teilwert senkt das Gesamtergebnis.
  • Durchschnittliche Geschwindigkeit: Fährst du gleich lange Strecken mit 30 km/h und 60 km/h, beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 40 km/h, nicht 45 km/h.

Harmonisches Mittel

40,0000

Aus 2 Werten.

Anzahl
2
Summe
90,0000
Minimum
30,0000
Maximum
60,0000

AM, GM, HM (AM ≥ GM ≥ HM)

Arithmetisches Mittel

45,0000

Summe / n

Geometrisches Mittel

42,4300

(Produkt)^(1/n)

Harmonisches Mittel

40,0000

n / Summe(1/x)

Für positive Werte gilt HM ≤ GM ≤ AM. Das harmonische Mittel gewichtet kleinere Werte stärker und liegt deshalb am niedrigsten.

Beispiele für das harmonische Mittel

WerteArithmetisches MittelGeometrisches MittelHarmonisches Mittel
30, 604542,426440
2, 8543,2
3, 6, 12765,1429
2, 3, 63,66673,30193
4, 4, 4444

Bei verschiedenen positiven Werten ist das harmonische Mittel kleiner als das geometrische und dieses kleiner als das arithmetische Mittel.

Häufige Fragen

Was ist das harmonische Mittel?
Das harmonische Mittel aus n positiven Zahlen ist n geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte: HM = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ). Es ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte und passt zu Raten mit gemeinsamem Nenner.
Wann sollte ich das harmonische statt des arithmetischen Mittels verwenden?
Verwende es für Raten, wenn die zugrunde liegende Bezugsgröße gleich bleibt. Typische Fälle sind der Verbrauch einer Fahrzeugflotte bei gleicher Strecke, Geschwindigkeiten auf gleich langen Strecken und der F1-Score aus Präzision und Trefferquote. Das arithmetische Mittel würde solche Werte systematisch zu hoch ansetzen.
Warum beträgt der Mittelwert von 30 und 60 genau 40 und nicht 45?
Fährst du mit jedem Auto 60 Meilen, verbraucht das Auto mit 30 MPG zwei Gallonen und das mit 60 MPG eine. Zusammen sind das 120 Meilen mit drei Gallonen, also 40 MPG. Das arithmetische Mittel 45 wäre nur richtig, wenn beide Autos gleich viel Kraftstoff verbrauchten.
Wie hängt das harmonische mit dem arithmetischen und geometrischen Mittel zusammen?
Für jede Liste positiver Zahlen gilt HM ≤ GM ≤ AM. Alle drei Mittel sind nur dann gleich, wenn jeder Wert gleich ist. Je größer die Streuung der Werte, desto größer wird der Abstand zwischen den drei Mitteln.
Warum darf ich keine Null oder negativen Zahlen eingeben?
Die Formel teilt durch jeden Wert, deshalb wäre eine Null eine Division durch 0. Negative Werte liefern zwar technisch Zahlen, passen aber nicht zur Ratenlogik des harmonischen Mittels. Der Rechner lehnt Eingaben, die nicht positiv sind, deshalb ab.

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