Binomialverteilung-Rechner
Berechne Punkt- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung. Erhalte außerdem Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
Beispiele für Binomialverteilungen
Die Tabelle zeigt Wahrscheinlichkeiten für typische Trefferereignisse.
| Versuche n | Trefferwahrscheinlichkeit p | Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,5 | Genau 5 Erfolge | 0,2461 |
| 10 | 0,5 | Höchstens 3 Erfolge | 0,1719 |
| 5 | 0,2 | Genau 1 Erfolg | 0,4096 |
| 4 | 0,5 | Genau 0 Erfolge | 0,0625 |
| 8 | 0,25 | Genau 2 Erfolge | 0,3115 |
Häufige Fragen
Was ist eine Binomialverteilung?
Eine Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen. Jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge und dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit p. Münzwürfe, Treffer beim Freiwurf und Qualitätsprüfungen sind typische Beispiele.
Wie lautet die Formel für P(X = k)?
Für genau k Erfolge gilt P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Dabei zählt C(n, k), auf wie viele Arten k Erfolge in n Versuchen angeordnet werden können. Für n = 10, p = 0,5 und k = 5 ergibt sich ungefähr 0,2461.
Wie berechnet der Rechner große Werte für n ohne Überlauf?
Der Rechner berechnet die Wahrscheinlichkeitsmasse im Logarithmusraum. Dazu nutzt er die Log-Gamma-Funktion für die Fakultätsanteile und potenziert erst am Ende zurück. So bleiben auch Eingaben bis n = 10.000 numerisch stabil.
Wie werden Mittelwert, Varianz und Modalwert berechnet?
Der Mittelwert ist n · p, die Varianz ist n · p · (1 − p). Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Der Rechner begrenzt den Modalwert auf n und berechnet ihn als min(n, ⌊(n + 1) · p⌋). Bei n = 20 und p = 0,3 sind Mittelwert 6, Varianz 4,2 und Modalwert 6.
Wann reicht eine Normalverteilung als Näherung?
Verwende möglichst die exakte Binomialverteilung. Eine Normalverteilung ist nur eine Näherung für große n und eine Erfolgswahrscheinlichkeit, die nicht zu nah an 0 oder 1 liegt. Häufig sollten n · p und n · (1 − p) mindestens 5 betragen. Dieser Rechner verwendet die exakte Berechnung.
Änderungsverlauf
Aktualisierungen von Binomialverteilung-Rechner, nach Datum gruppiert.
Sonderfall bei 100 % korrigiert
- Bei einer Wahrscheinlichkeit von 100 % bleibt das wahrscheinlichste Ergebnis jetzt innerhalb der möglichen Anzahl von Erfolgen.
Binomialverteilung-Rechner hinzugefügt
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