Asymptoten-Rechner

Eine Asymptote beschreibt das Grenzverhalten einer Funktion, wenn x sich einem Wert nähert oder betragsmäßig wächst. Ein Graph kann eine horizontale oder schräge Asymptote schneiden. Eine Asymptote ist also nicht dadurch definiert, dass die Kurve sie nie berührt. Rationale Funktionen können je nach Faktoren und Graden vertikale, horizontale oder polynomiale Asymptoten besitzen.

Faktorisiere P(x) und Q(x) und kürze gemeinsame Faktoren mit gleicher Vielfachheit. Ein verbleibender reeller Nennerfaktor erzeugt an seiner Nullstelle eine vertikale Asymptote. Wird ein Faktor vollständig gekürzt, entsteht dort stattdessen ein Loch. Es reicht daher nicht, nur zu prüfen, ob beide Polynome an derselben Stelle null sind.

Vergleiche die Grade von P und Q. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, lautet die horizontale Asymptote y = 0. Sind die Grade gleich, ist sie das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Bei höherem Zählergrad gibt es keine horizontale Asymptote. Bei einem Gradunterschied von genau eins kann aber eine schräge Asymptote existieren.

Eine schräge Asymptote ist eine nicht horizontale Gerade y = mx + b, der sich die Kurve im Unendlichen annähert. Sie existiert nur, wenn der Zählergrad genau um eins größer als der Nennergrad ist. Teile P(x) durch Q(x). Der Quotient ist die Gerade, während der Restterm im Unendlichen verschwindet. Für x² durch (x - 1) ergibt sich y = x + 1.

Beides beginnt mit einer Nullstelle des Nenners. Kürze gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner jeweils nur in ihrer vorhandenen Vielfachheit. Wird der Nennerfaktor vollständig entfernt, hat die ursprüngliche Funktion dort ein Loch. Bleibt mindestens eine Kopie im Nenner, liegt eine vertikale Asymptote vor. Der Rechner vergleicht die Vielfachheiten der Nullstellen.