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Skalarprodukt-Rechner

Berechne das Skalarprodukt zweier Vektoren sowie Länge, Winkel, Projektion, orthogonale Komponente und die Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Skalarprodukt-Rechner

Vektor A

Vektor B

Skalarprodukt (A · B)

32

Winkel zwischen A und B: 12,93°

Länge |A|

3,7417

Länge |B|

8,775

cos(theta)

0,9746

Winkel (Radiant)

0,2257

Skalarprojektion von A auf B

3,6467

Vektorprojektion von A auf B

(1,6623, 2,0779, 2,4935)

Beziehung: Spitzer Winkel (unter 90 Grad)
Formel anzeigen

A · B = axbx + ayby + azbz

theta = arccos( (A · B) / (|A| |B|) )

A · B = 32

Beispiele für Skalarprodukte

Multipliziere entsprechende Vektorkomponenten und addiere die Produkte.

VektorenBerechnungSkalarprodukt
(1, 2) und (3, 4)1 × 3 + 2 × 411
(1, 0) und (0, 1)1 × 0 + 0 × 10
(2, −1, 3) und (4, 0, −2)2 × 4 + (−1) × 0 + 3 × (−2)2
(−1, 2) und (3, −4)(−1) × 3 + 2 × (−4)−11
(1, 2, 3) und (1, 2, 3)1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 314

Häufige Fragen

Was berechnet der Skalarprodukt-Rechner?
Der Rechner multipliziert die passenden Komponenten zweier Vektoren und addiert die Produkte. Er zeigt das Skalarprodukt, die Vektorbeträge, den Winkel und Projektionen. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine Zahl und kein neuer Vektor.
Wie erkenne ich am Skalarprodukt den Winkel?
Ein positives Skalarprodukt weist auf einen spitzen Winkel hin, ein Wert von 0 auf einen rechten Winkel und ein negatives Skalarprodukt auf einen stumpfen Winkel. Für den genauen Winkel verwendet der Rechner zusätzlich die Beträge beider Vektoren und den Arkuskosinus.
Warum ist das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren 0?
Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander. In der Beziehung a · b = |a| × |b| × cos(90°) ist der Kosinus von 90° gleich 0. Deshalb wird das Skalarprodukt 0, sofern die Vektoren nicht beide oder einer davon der Nullvektor sind.
Kann ich 2D- und 3D-Vektoren berechnen?
Ja. Im 2D-Modus verwendet der Rechner die x- und y-Komponente. Im 3D-Modus kommt die z-Komponente hinzu. Dadurch kannst du dieselbe Berechnung passend zur Dimension deiner Vektoren durchführen.
Was passiert bei einem Nullvektor?
Das Skalarprodukt mit dem Nullvektor ist 0, weil alle Komponentenprodukte 0 sind. Ein Nullvektor hat jedoch keine eindeutige Richtung. Deshalb sind Winkel und Projektionen mit einem Nullvektor nicht definiert.
Wofür brauche ich eine Vektorprojektion?
Eine Projektion zeigt, welcher Anteil eines Vektors in die Richtung eines anderen Vektors zeigt. Das ist beispielsweise nützlich, um eine Kraft in einen parallelen und einen senkrechten Anteil zu zerlegen. Der Zielvektor muss dafür eine Länge größer als 0 haben.

Änderungsverlauf

Aktualisierungen von Skalarprodukt-Rechner, nach Datum gruppiert.

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