Eigenwert-Rechner
Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix. Der Rechner prüft das Ergebnis mit der charakteristischen Gleichung.
Beispiele für Eigenwerte
Spur und Determinante dienen als Kontrollwerte für die Eigenwerte.
| Matrix | Eigenwerte | Spur | Determinante |
|---|---|---|---|
| [[2, 0], [0, 3]] | 2, 3 | 5 | 6 |
| [[1, 1], [0, 1]] | 1, 1 | 2 | 1 |
| [[0, −1], [1, 0]] | i, −i | 0 | 1 |
| [[4, 0], [0, 4]] | 4, 4 | 8 | 16 |
| [[0, 0], [0, 5]] | 0, 5 | 5 | 0 |
Häufige Fragen
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
Ein Eigenvektor v einer quadratischen Matrix A erfüllt A · v = λ · v. Die Matrix verändert bei dieser Richtung nur die Länge und gegebenenfalls das Vorzeichen. Der Eigenwert λ ist der zugehörige Streckungsfaktor. Bei einer 2 × 2-Matrix gibt es zwei Eigenwerte, bei einer 3 × 3-Matrix drei, jeweils mit Vielfachheiten gezählt.
Wie berechnet der Rechner die Eigenwerte?
Der Rechner bestimmt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A − λI) = 0. Für 2 × 2-Matrizen ist es eine quadratische Gleichung. Für 3 × 3-Matrizen verwendet der Rechner eine geschlossene Lösung des kubischen Polynoms nach Cardano, soweit die numerische Genauigkeit reicht.
Warum können Eigenwerte komplex sein?
Ist die Diskriminante des charakteristischen Polynoms negativ, treten komplex konjugierte Eigenwerte auf. Eine 90°-Drehmatrix ist ein typisches Beispiel mit den Eigenwerten +i und −i. Der Rechner zeigt Real- und Imaginärteil und berechnet für solche Werte keine reellen Eigenvektoren.
Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie genügend linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, um daraus eine invertierbare Matrix P zu bilden. Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Auch eine Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar.
Wie hängen Spur und Determinante mit den Eigenwerten zusammen?
Die Spur ist die Summe der Eigenwerte, die Determinante ist ihr Produkt, jeweils mit Vielfachheiten. Eine singuläre Matrix hat deshalb immer den Eigenwert 0. Diese beiden Beziehungen sind schnelle Plausibilitätsprüfungen für das Ergebnis.
Änderungsverlauf
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