Polynom-Rechner

Die Polynomdivision braucht eine eigene Schrittfolge und eine andere Eingabereihenfolge. Dieser Rechner konzentriert sich auf Addition, Subtraktion, Multiplikation und das Einsetzen eines x-Werts. So bleibt jedes Werkzeug übersichtlich. Für eine Division mit sichtbaren Reduktionsschritten verwendest du den Polynomdivisionsrechner, für schnelle Grundoperationen bist du hier richtig.

Die erste Zahl gehört zum konstanten Glied, die nächste zu x und danach folgen x², x³ und weitere Potenzen. Die Liste [1, 2, 0, 3] steht deshalb für 1 + 2x + 3x³. Die Reihenfolge passt zur internen Array-Struktur und zum Horner-Verfahren. Für eine ausgelassene Potenz musst du eine 0 eintragen, sonst verschiebt sich das gesamte Polynom.

Bei der Multiplikation werden alle Koeffizientenpaare miteinander multipliziert und nach gleicher Gesamtpotenz gesammelt. Für (x + 1)(x - 1) entstehen die Koeffizienten [-1, 0, 1], also x² - 1. Diese Faltung benötigt bei zwei Listen der Länge n und m O(n · m) Rechenschritte. Die Begrenzung auf 20 Koeffizienten hält die Berechnung gut handhabbar.

Das Horner-Verfahren schreibt ein Polynom verschachtelt und ersetzt die Potenzberechnung durch eine Folge von Multiplikationen und Additionen. Für ein Polynom vom Grad n braucht es genau n Multiplikationen und n Additionen. Dadurch ist es schneller und vermeidet einige unnötig große Zwischenpotenzen. Der Rechner verwendet es beim Modus Auswerten.

Der Grad ist die höchste Potenz mit einem von null verschiedenen Koeffizienten. Beim Addieren können sich führende Terme aufheben, sodass der Grad sinkt oder das Nullpolynom entsteht. Bei der Multiplikation addieren sich die Grade, solange kein Eingabepolynom null ist. Der Rechner entfernt am Ende führende Nullen der höchsten Potenzen und meldet den tatsächlich verbleibenden Grad.