Poisson-Verteilung berechnen

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl unabhängiger Ereignisse in einem festen Zeit-, Raum- oder Volumenintervall, wenn die durchschnittliche Rate konstant ist. Sie wird vollständig durch den Parameter λ beschrieben. Beispiele sind Anrufe pro Stunde, Fehler pro Meter oder Zerfälle pro Sekunde.

Für genau k Ereignisse gilt P(X = k) = λᵏ × e⁻λ / k!. Dabei ist λ die durchschnittliche Rate und k eine nicht negative ganze Zahl. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) addiert die Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k. Der Rechner verwendet eine stabile logarithmische Berechnung.

Nutze die Poisson-Verteilung, wenn seltene Ereignisse bei vielen möglichen Gelegenheiten gezählt werden und nur die durchschnittliche Rate bekannt ist. Die Binomialverteilung benötigt dagegen eine feste Versuchszahl und eine Erfolgswahrscheinlichkeit. Bei großer Versuchszahl und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit nähert sich die Binomialverteilung der Poisson-Verteilung an.

Bei einer Poisson-Verteilung sind Mittelwert und Varianz beide gleich λ. Die Standardabweichung ist daher √λ. Der Modalwert ist bei nicht ganzzahligem λ die abgerundete Zahl. Bei ganzzahligem λ teilen sich λ − 1 und λ die höchste Wahrscheinlichkeit.

Höchstens k berechnet P(X ≤ k). Mindestens k berechnet P(X ≥ k), also 1 − P(X ≤ k − 1). Der Bereich berechnet P(k₁ ≤ X ≤ k₂) und schließt beide Grenzen ein. So kannst du dieselbe Verteilung passend zu deiner konkreten Fragestellung auswerten.