Exponentielles Wachstum berechnen
Berechne exponentielles Wachstum oder Zerfall. Löse Endwert, Zeit, Rate oder Anfangswert diskret oder stetig mit Verdopplungs- und Halbwertszeit.
Beispiele für exponentielles Wachstum
| Anfangswert | Rate | Perioden | Endwert |
|---|---|---|---|
| 100 | 10 % | 5 | 161,0510 |
| 1.000 | 5 % | 10 | 1.628,8946 |
| 500 | -10 % | 3 | 364,5000 |
| 50 | 20 % | 4 | 103,6800 |
| 1.000 | 0 % | 6 | 1.000 |
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für exponentielles Wachstum?
Für diskretes Wachstum pro Periode gilt N(t) = N₀ × (1 + r)^t. Für stetiges Wachstum gilt N(t) = N₀ × e^(k × t), wobei k die stetige Rate pro Periode ist. Um eine diskrete Rate r umzurechnen, gilt k = ln(1 + r). Eine diskrete Rate von 5 % pro Periode entspricht ungefähr 4,879 % stetig.
Wie berechne ich die Verdopplungszeit?
Bei diskretem Wachstum lautet die Formel ln(2) / ln(1 + r). Bei stetigem Wachstum gilt ln(2) / k. Bei 5 % pro Periode sind das ln(2) / ln(1,05), also ungefähr 14,207 Perioden. Die 72er-Regel, 72 geteilt durch die Prozentzahl, ist eine schnelle Näherung im Kopf.
Wie modelliere ich exponentiellen Zerfall?
Gib eine negative Rate ein. Ein Verlust von 3 % pro Periode entspricht r = -0,03. Daraus wird N(t) = N₀ × 0,97^t. Bei einem Anfangswert von 100 bleiben nach zehn Perioden mit -3 % ungefähr 73,74 übrig.
Was ist der Unterschied zwischen diskretem und stetigem Wachstum?
Beim diskreten Modell wird die Rate einmal pro Periode angewendet. Aus 100 werden bei 5 % nach einer Periode 105. Das stetige Modell nimmt unendlich kleine Zeitintervalle an. Derselbe Anfangswert wird bei 5 % nach einer Periode zu ungefähr 105,13.
Wie löse ich die Rate aus Anfangs- und Endwert?
Bei Anfangswert 100, Endwert 200 und zehn Perioden ist die diskrete Rate r = (200 / 100)^(1 / 10) - 1. Das sind ungefähr 7,177 % pro Periode. Die stetige Rate lautet k = ln(200 / 100) / 10 und beträgt ungefähr 6,931 %.
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