Zweierkomplement-Rechner

Das Zweierkomplement ist die übliche Darstellung vorzeichenbehafteter Ganzzahlen in Computern. Bei einer Breite von n Bit zeigt das höchstwertige Bit das Vorzeichen an. Ist es 1, wird die Bitfolge als negative Zahl interpretiert. Fast alle modernen Prozessoren und Programmiersprachen verwenden dieses Verfahren, weil Addition und Subtraktion mit derselben Binärlogik möglich sind.

Schreibe zunächst den Betrag der Zahl als vorzeichenlose Binärzahl mit der gewünschten Bitbreite. Invertiere anschließend jedes Bit und addiere 1. Aus −42 wird im 8-Bit-Format zunächst 00101010, danach 11010101 und nach dem Addieren von 1 schließlich 11010110. Der Rechner zeigt diese Schritte beim Umwandeln einer negativen Zahl.

Lies die Bitfolge zuerst als vorzeichenlose Zahl. Beginnt sie mit 0, ist dieser Wert bereits das Ergebnis. Beginnt sie mit 1, ziehst du 2 hoch n ab, wobei n die Bitbreite ist. Das 8-Bit-Muster 11010110 entspricht vorzeichenlos 214. Nach dem Abziehen von 256 bleibt −42.

Ein vorzeichenbehafteter Wert mit n Bit reicht von −2 hoch (n minus 1) bis 2 hoch (n minus 1) minus 1. Im 8-Bit-Format sind das −128 bis 127. Mit 16 Bit reicht der Bereich von −32.768 bis 32.767. Mit 32 Bit sind es ungefähr −2,1 Milliarden bis 2,1 Milliarden, mit 64 Bit ungefähr −9,2 Trillionen bis 9,2 Trillionen.

Es gibt insgesamt 2 hoch n Bitmuster, aber die Null belegt bereits einen nichtnegativen Wert. Deshalb reicht der negative Bereich um einen Wert weiter als der positive. Bei 8 Bit liegt das Minimum bei −128, während das Maximum 127 ist. Wenn du −128 im 8-Bit-Format negierst, entsteht ein Überlauf und wieder das Bitmuster für −128.

Ja. Der Rechner verwendet Ganzzahlarithmetik mit beliebiger Genauigkeit. Dadurch bleiben auch Werte im vollständigen 32- und 64-Bit-Bereich exakt, obwohl sie für gewöhnliche Gleitkommazahlen zu groß für eine genaue Darstellung sein können. Das gilt auch für den kleinsten 64-Bit-Wert −9.223.372.036.854.775.808.